【四川成人高考】专升本复习资料数学1--微分知识点睛(导数与微分)

2019-08-15 四川自考成考
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微分知识点睛(导数与微分)

知识结构:



必备基础知识

★导数的定义(增量比值的极限)

(也可记为,或.)

★可导性与连续性的关系

可导连续有极限

注:函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件,但不是充分条件.

★导数的几何意义

函数在点x0处的导数在几何上表示曲线在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率.

切线方程为:

法线方程为:

★导数公式(必须牢记)

(1) (C)¢=0,(2) (xm)¢=mxm-1,

(3) (sinx)¢=cosx,(4) (cosx)¢=-sinx,

(5) (tanx)¢=sec2x,(6) (cotx)¢=-csc2x,

(7) (secx)¢=secx×tanx,(8) (cscx)¢=-cscx×cotx,

(9) (ax)¢=axlna,(10)(ex)¢=ex,

(11),(12),

(13),(14).

(15),(16).

★函数的和、差、积、商的求导法则

★复合函数的求导法则(从外到里层层求导,外面求导,里面不变)

定理3若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且其导数为

★隐函数的导数(牢记是的函数)

如方程F(x,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求导,注意y=y(x)。

步骤:(1)方程两边同时对x求导(注意是的函数)

(2)解出

★对数求导法:

先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量求导,最后解出所求导数.

★高阶导数(从低阶到高阶逐阶求导)

y¢¢=(y¢)¢,f¢¢(x)=[f¢(x)]¢,.

★微分

1) 微分的定义

定义设函数在某区间内有定义,及在这区间内, 如果函数的增量可表示为:

其中A是与无关的常数, 则称函数在点可微, 并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分, 记作, 即

2) 函数可微的条件

定理: 函数在点可微的充要条件是:

在点处可导,且即。

主要考察知识点和典型例题:

考点一:导数的概念

典型例题:设存在, 求极限

解:

【注】这种题目一般只出填空或选择,我们可以按以下方法解题:这种题目的结果均为:,其中等于分子中的个数除以分母中的个数。

考点二:导数的几何意义

切线方程为:

法线方程为:

典型例题:求曲线在点处的切线方程.

解因为

故所求切线方程为即

典型例题:已知在处的切线平行于直线,则=_______。

解先求在处的切线的斜率:,所以。

由于切线平行于直线,而已知平行直线的斜率,

所以斜率相等,即:,。

考点三:函数和、差、积、商的求导法则

的和、差、商(除分母为 0的点外) 都在点x可导,

典型例题:,求f¢(x)及.

解:,

.

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