【四川成考】专升本复习资料数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分

2019-08-15 四川自考成考
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一元函数积分学知识点睛(定积分)

知识结构:

必备基础知识

★定积分的定义:设在上有界——理解即可

(1)大化小(把大曲边梯形分为n个小曲边梯形):,在中任意插入若干个分点:,

把区间分割成n个小区间,,,

各小区间的长度依次为.

(2)常代变(用小矩形近似的代替每一个小曲边梯形):在每个小区间上任取一点作函数值与小区间长度的乘积,

(3)近似和(n个小矩形的面积之和近似的等于大曲边梯形的面积):作和式

(4)取极限(无限细分,得到大曲边梯形的面积):记如果不论对怎样的分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限I,我们就称这个极限I为函数在区间上的定积分,记为

其中叫做被积函数,叫做被积表达式,x叫做积分变量,叫做积分区间.

★定积分的几何意义:——理解即可

在区间[a,b]上,当f(x)³0时,积分在几何上表示由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)£0时,由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;

★定积分的性质——红色部分要掌握

两点规定:

(1)当a=b时,.

(2)当a>b时,.

性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

.

性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即:.

性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即:.

性质4如果在区间[ab]上f(x)º1则:.

性质5如果在区间[a,b]上f(x)³0,则:(a<b).

推论1如果在区间[a,b]上f(x)£g(x)则:(a<b).

推论2(a<b).

性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则

(a<b).

性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点,使下式成立:.

★积分上限函数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分称为积分上限的函数.它是区间[a,b]上的函数,记为:F(x),或F(x)=.

积分上限函数的导数

定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数F(x)在[a,b]上具有导数,并且它的导数为:

F¢(x)(a£x<b).

★牛顿--莱布尼茨公式

定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则

.

此公式称为牛顿--莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.

★无穷区间上的广义积分的概念

(1)函数在无穷区间[a,+¥)上的广义积分的定义:

.

在广义积分的定义式中,如果极限存在,则称此广义积分收敛;否则称此广义积分发散.

(2)函数在无穷区间(-¥,b]上的广义积分的定义:

(3)函数在无穷区间(-¥,+¥)上的广义积分的定义:

主要考察知识点和典型例题:

考点一:变上限积分求导

变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是:直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导;含有变限积分的极限问题。

典型例题求.

解根据变上限积分的求导公式,变上限积分求导就等于被积函数:

典型例题

解:解此题需要注意,不是积分上限函数,而是常数,所以=0。

典型例题求.(分析:这是型不定式,应用洛必达法则.)

考点二:利用莱布尼兹公式直接计算

根据牛—莱公式,计算定积分就是计算不定积分,区别在于不定积分加常数C,定积分加积分区间,定积分的计算方法和不定积分的计算方法没有什么区别,只需要注意积分限的变化。

典型例题

解由于arctanx是的一个原函数,所以

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