【四川函授本科】考试复习资料数学1--一元函数积分学知识点睛(定积

2019-08-15 四川自考成考
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考点三:第一换元法(凑微分法)(积分上下限可保持不变)

定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别,只要按照步骤仔细计算即可。

(1)直接凑(能在积分基本公式中找到相近的积分公式)

典型例题

解:=sin2x

(2)间接凑(先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系)——重点

典型例题计算定积分(的导数是)

解:

往年真题=_____________

解:

典型例题设为连续函数,试证:

证:=

考点四:第二类换元法(目的是为了去掉被积函数中的根号)

(1)根式换元————需要掌握

特点:被积函数中含一般根式,直接换元,根号是谁就换谁

典型例题求定积分

解令则当时,当时,从而

(2)三角换元————作为了解

特点:被积函数中含根式换元不能去掉根号

结论:三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有

a)可令

b)可令

0

0

典型例题求定积分

解令则

由换元积分公式得

【注】(1)由于换元中积分变量发生了变化,所以其对应的积分上下限也会发生变化,定积分的第二换元法需要注意积分上下限的变化;

(2)定积分的计算不需要回代。

考点五:定积分的分部积分法

或.

定积分的分部积分法主要是用来计算两个函数乘积的定积分,计算过程和不定积分的分部积分没有什么大的区别,只是要注意积分过程中得到的每一部分都有积分上下限。

典型例题计算

解:

考点六:利用函数的奇偶性计算

利用函数的奇偶性计算定积分是一种特殊的计算定积分的方法,一般常见于填空和选择题,做题时主要是注意其使用条件和结论。

【注】(1)积分区间必须关于原点对称;

(2)被积函数必须具有奇偶性。

定理:当在上连续,则

(1)当为偶函数,有;

(2)当为奇函数,有.

典型例题=(B)。

A.B.C.D.

解:在积分中,积分区间[-1,1]关于原点对称,被积函数为奇函数,所以=0。

考点七:无穷区间上的广义积分——一般性掌握

无穷区间上的广义积分是积分学中的一种特殊情况,往年考查较少,掌握时主要侧重计算简单函数的广义积分即可。

解题思路:其定义就是计算方法:先把积分中的无穷换作常数,计算一个定积分,然后令常数(、),取极限即可。

典型例题计算广义积分

解题思路:先把换成任意常数,计算定积分,然后令,取极限

解:对任意的有

于是

因此

典型例题讨论广义积分的敛散性

因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.

【注】这个题目的计算过程不是重点,主要是记住这个结论。

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