【四川函授本科】考试复习资料数学1--一多元函数微分学知识点睛2

2019-08-15 四川自考成考
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2、中间变量是多元函数的情形

复合函数:、及

链式法则如图示:


典型例题设,而,,求全导数.

解:


考点四:隐函数的导数和偏导数

()

典型例题求由方程所确定的隐函数的导数

解此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之.

令则

(,.)——重点

典型例题设是由方程所确定的隐函数,求。

解:设,

,,

=+

考点五:二阶偏导数(就是一阶偏导数再求偏导数)

典型例题设,求、、、及.

解:

往年真题设函数,则等于(B)

A.

B.

C.

D.

解是求函数的二阶偏导数,要求二阶偏导,需先求一阶偏导。

一阶偏导数对:

二阶偏导数对:

考点六、二元函数的极值

1、二元函数的无约束极值

求的极值的一般步骤为:

第一步解方程组

fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,

求得一切实数解,即可得一切驻点.

第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值

A、B和C.

第三步定出AC-B2的符号,按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值.

典型例题求函数的极值.

解先解方程组解方程组

解得驻点为

再求出二阶偏导数

ⅰ在点(1,0)处,故函数在该点处有极小值

ⅱ在点(1,2)处,处,故函数在这两点处没有极值;

ⅲ在点处,又故函数在该点处有极大值

2、条件极值拉格朗日乘数法

要找函数z=f(x,y)在条件j(x,y)=0下的可能极值点,可以先构成辅助函数

F(x,y)=f(x,y)+lj(x,y),

其中l为某一常数。然后解方程组:

.

由这方程组解出x,y及l,则其中(x,y)就是所要求的可能的极值点。

典型例题求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.

解设长方体的三棱的长为x,y,z,则问题就是在条件

2(xy+yz+xz)=a2

下求函数V=xyz的最大值.

构成辅助函数

F(x,y,z)=xyz+l(2xy+2yz+2xz-a2),

解方程组

,

得,

这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最大值一定存在,

所以最大值就在这个可能的值点处取得.此时.

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